本题考查了人民检察院自侦案件的指定管辖。

     A项：说法错误，不当选。《刑诉解释》第16条的规定，有管辖权的人民法院因案件涉及本院院长需要回避等原因，不宜行使管辖权的，可以请求移送上一级人民法院管辖。上一级人民法院可以管辖，也可以指定与提出请求的人民法院同级的其他人民法院管辖。本案中因是副市长涉嫌犯罪，A市中级法院不宜行使审判权，可由甲省高级法院指定B市法院管辖。但是，由于法院遵循不告不理原则，指定B市法院管辖，意味着侦查和起诉的检察院不可能是B市检察院。因为如果由B市检察院侦查和起诉，不存在所谓的指定管辖问题。

     B项：说法错误，不当选；C项：说法正确，当选。《高检规则》第18条的规定，上级人民检察院可以指定下级人民检察院立案侦查管辖不明或者需要改变管辖的案件。人民检察院在立案侦查中指定异地管辖，需要在异地起诉、审判的，应当在移送审查起诉前与人民法院协商指定管辖的相关事宜。据此，包括最高检在内的上级检察院有权直接指定下级检察院立案侦查需要改变管辖的案件。同时，甲省检察院可指定B市检察院审查起诉，但不能直接指定B市中级法院审理。

     D项：说法错误，不当选。《刑诉解释》第20条的规定，对公诉案件，原受理案件的法院应当书面通知同级人民检察院，并将案卷材料退回，同时书面通知当事人。据此，A市中院只能将案卷材料退回给同级检察院，而不能直接移送B市中院。