快速查题-中学教师资格证试题

（一）课题导入

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件、两直线的夹角公式、两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法。这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。

（二）讲授新课

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？

下面，我们一起分析这一问题的解决方案。首先看图1某校（点A）要从网络干线引进一条支线通进本校，在干线上选择哪一点最好？

过A作AP⊥P，则P是最佳选择。

生活中类似问题很多，“垂线段最短”，就是求点到直线的距离，初中是用的几何办法，今天我们在解析几何中选用什么办法呢？代数办法解决几何问题。先看一个简单问题，图，点P（1，3）到直线的距离是 ，到直线的距离是？学生很轻松地答对了。

师生反思：对一般问题呢？从特殊到一般是数学研究的普遍策略，我们看任一点P（x0，y0）到直线x=a的距离是，到直线y=b的距离是？ 点P（x0，y0）到直线x=a的距离是|x0—a|，到直线y=b的距离是|y0—b|。

别忘记绝对值符号，距离是个非负数！数形结合的话距离就是“横线段、纵线段”。（老师演示）现在我们看更一般的问题，即：点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离是什么呢？这比以前两个问题更富有挑战性，大家思考怎么办？过P作垂直于的直线，求出该直线与的交点Q的坐标，再求出PQ的长。

此方法虽然思路自然、易想，但是大家看，方程全部是字母，求这点的坐标必然运算繁琐，更何况还要求PQ的长！我们应探讨出另一种方法来，巧妙转化难点。

先求出MP、NP的长，在RtΔPMN中，作斜边上的高PQ，利用等面积法求得PQ的长即可。看图（教师演示）M、N点的横、纵坐标分别为 ，那么MP= ，NP= 。

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于是得点P(x0，y0)到直线的距离公式

师生反思：可以证明当A=0或B=0时，以上公式仍适用，于是我们得到平面内任一点到任一条直线的距离公式！大家看一下它的结构特征分子是什么？分母是什么？这就要求我们应用公式时，必须先将方程化成一般式！这个公式体现着和谐美、对称美。但是如果直线是平行于x轴或y轴的直线时，我们一般是不用公式更简单！（为什么呢？）

[师]同学们我们以上给出了两种推导方法，第一种解析法易想不易算不可行，第二种等面积法看似麻烦却简单易算易行！这就启示我们对于数学问题必须勤动手，切不可仅仅停留在想想而已！下面大家讨论一下这个公式还有别的证明方法吗？

[生]我们小组认为根据“垂线段最短”在直线上任取一点R（ ），则|PR| 的长度最小值就是点到直线的距离，即|PR|=但是运算也比较繁！还得化简，再配方才可以！

[师]的确这位同学思路新颖，用函数最小值的思想求距离，能够想到应用我们所学的知识来证明，这样非常好！给予鼓励！大家有兴趣课下继续把后面的证明完成！同学们对于这个公式的推导我们还可以应用以前学过的向量知识得到!下面大家看多媒体，我给出了具体证明过程如下，以供开阔思路(具体过程略)。